STATISTIKA

BAB II

PEMBAHASAN

A.       Pengertian

Istilah hipotesis berasal dari bahasa Yunani, yaitu hupo dan thesis. Hupo berarti lemah, kurang, atau di bawah dan thesis  berarti teori, proposisi, atau pernyataan yang disajikan sebagai bukti. Jadi hipotesis dapat diartikan sebagai suatu pernyaataan yang masih lemah kebenarannya dan perlu di buktikan atau dugaan yang sifatnya masih sementara.Asumsi atau dugaan mengenai sesuatu hal yang dibuat untuk menjelaskan hal itu yang sering dituntut untuk melakukan penegcekkannya. Jika asumsi atau dugaan itu dikhususkan mengenai populasi, maka hipotesis tersebut merupakan  hipotesis statistik. Setiap hipotesis bisa benar atau tidakbenar dan karenanya perlu diadakan penelitian sebelum hipotesis itu diterima atau ditolak.Langkah atau prosedur untuk menentukan apakah hipotesis tersebut diterima atau ditolak disebut dengan pengujian hipotesis. Telah kita ketahui bahwa suatu penduga pada umumnya tidaklah harus sama dengan nilai parameter yang sebenarnya.

Misalnya, distribusi probabilita yang merupakan model bagi distribusi X,  katakanlah hasil penstensilan kertas koran dalam n percobaan penstensilan demikian dinyatakan sebagai :

F(x) = (_NC_x) p^x (1-p)^n-x

Jika p = ¼ dan n= 500, maka

F(x) =	500!	(1/4)x(3/4)500-x
	X!(500-x)

Parameter p diatas merupakan probabilita kerusakan pada setiap penstensilan sedemikian itu dan dapat merupakan suatu asumsi yang memiliki karakteristik hipotesis statistik karena p = ¼ merupakan parameter fungsi frekuensi vareiable random p.

Andaikan kita meragukan  hipotesis diatas, maka kita dapat mengujinya secara statistik pula jika sekali lagi jika datanya dapat dukumpulkan dan dianalisa dalam cara yang memenuhi ketentuan asas-asas statistik. Pengujian hipotesis diatas dianggap sebagai suatu prosedur guna menentukan apakah hipotesis diatas sebaiknya diterima atau ditolak andaikan keraguan kita mengenai p = ¼ di atas disebabkan oleh adanya kemungkinan p = ½ meskipun kita yakin bahwa kemungkinan p = ¼ lebih besar dari pada p =  ½ . maka, hipotesis yang akan kita uji dapat dinyatakan sebagai berikut. H₀ : p = ¼ dan H₁ : p ≠¼

H₀ merupakan hipotesis nol dan merupakan hipotesis yang akan diuji danyang nantinya akan diterima atau ditolak tergantung pada hasil eksperimen atau pemilihan sampelnya. H₁ merupakan hipotesis alternatif atau hipotesis tandingan.Pengujian diatas membutuhkan observasi atau hasil pemilihan sampel yang bersifat random tentang frekuensi kerusakan X/n hasil penstensilan itu sendiri.Observasi pemilihan sampel sedemikian itu dapat dilakukan secara berulang-ulang kali atau sekali saja.atas dasar nilai statistik sampel, keputusan diambil untuk menentukan apakah H₀ tersebut sebaiknya diterima atau ditolak. Jika H₀ diterima, maka sama artinya dengan H₁ ditolak dan sebaliknya jika H₀ ditolak maka H₁ diterima.

Dalam melakukan pengujian hipotesis, ada dua macam kekeliruan yang dapat terjadi, dikenal dengan nama-nama :

a)Kekeliruan tipe I: adalah kekeliruan karena menolak hipotesis (H₀) padahal hipotesis tersebut benar. Kekeliruan ini disebut kekeliruan α.. 

b)   Kekeliruan tipe II:adalah kekeliruan menerima hipotesis (H₀) padahal hipotesis tersebut salah. Kekeliruan ini disebut β  .

Uji hipotesis atau peraturan pengambilan keputusan dilakukan dengan baik agar kesalahan pengambilan keputusan dapat diminimalisir.Cara untuk mengurangi kedua tipe kekeliruan tersebut adalah dengan memperbesar ukuran sampel, yang mungkin atau tidak mungkin dilakukan (Spiegel,1992).

Prosedur Uji Hipotesis

1.    Merumuskan Hipotesis

2.    Menentukan Nilai Kritis (cari di tabel t atau Z)

3.    Menentukan Nilai Hitung

4.    Pengambilan Keputusan (H₀ ditolak jika nilai hitung absolut lebih besar daripada nilai tabel absolut dan sebaliknya)

5.    Membuat Kesimpulan

B.  Pengujian Hipotesis untuk Dua Sampel Independen

Dua sampel independen adalah dua sampel yang tidak berhubungan satu dengan yang lain. Banyak penelitian yang memerlukan perbandingan antara dua keadaan atau tepatnya dua populasi. Misalnya membandingkan dua cara mengajar, dua cara produksi, daya sembuh dua macam obat dan lain sebagainya. Untuk keperluan ini akan digunakan dasar distribusi sampling mengenai selisih statistik, misalnya selisih rata-rata.

Misalkan kita mempunyai dua populasi normal masing-masing dengan rata-rata m₁ dan m₂ sedangkan simpangan bakunya σ₁  danσ₂ Secara independen dari populasi kesatu diambil sebuah sampel acak berukuran n₁, sedangkan dari populasi kedua sebuah sampel acak berukuran n₂. Dari kedua sampel ini berturut-turut didapat  x₁, s₁, dan x₂, s₂. Akan diuji tentang rata-rata m₁ dan m₂.

Seringkali dalam suatu penelitian akan diselidiki apakah suatu metode baru memberikan hasil yang lebih baik dari  metode lama, atau dua pendekatan dalam memberikan hasil yang sama. Masalah seperti ini dapat diselesaikan dengan melakukan pengujian rata-rata dua populasi.  Berikut adalah tabel untuk uji rata-rata dua populasi yang memuat hipotesis, statistik uji dengan asumsi variansi, dan daerah kiritis, yaitu daerah penolakan H₀.

1. Dua sampel z-test (En=Two-sample z-test)

Hipotesis	Rumus	Asumsi atau Catatan	Daerah Kritis atau Kriteria Keputusan
H0: μ1- μ2 = d0 Ha: μ1- μ2 ≠ d0	(x₁ - x₂) - d₀ Z = σ₁²σ₂²           n₁      n₂	Jika σ1 dn σ2 diketahui	H0 ditolak jika Z > Zα /2 Atau Z < - Zα /2
H0: μ1- μ2 = d0 atau H0: μ1- μ2 ≤ d0 Ha: μ1- μ2 > d0			H0 ditolak jika Z > Zα
H0: μ1- μ2 = d0  atau H0: μ1- μ2 ≥  d0 Ha: μ1- μ2  < d0			H0 ditolak jika Z <  -Zα

Keterangan :

n₁  = Jumlah sampel 1             d₀=  Pernyataan Selisih Populasi

   n₂= Jumlah sampel 2              σ²    = Variansi populasi

   X   = Rata-rata sampel

Contoh Soal :

            Suatu sampel acakberukuran n₁ = 20 diambil dari populasi normal dengan simpangan baku s₁ = 4,2 mempunyai rata-rata x₁ = 75 . Sampel kedua berukuran n₂ = 30 diambil dari populasi yang lain dengan simpangan baku  s_₂= 3,1 mempunyai rata-rata  x₂ = 70.

Uji hipotesis H₀: μ₁- μ₂ = 0 dan H_a: μ₁- μ₂ > 0 dengan taraf signifikansi 0,05.

Jawab :

Daerah kritis z > zα= z_0,05 = 1,645 

Perhitungan :           (x₁ - x₂) - d₀           (75 – 70) – 0               5                                              

Z  =                        =                                 =                    = 4,562

σ₁²σ₂²              (4,2)²      (3,1)²        1,096

 n₁n₂                  20           30                                                   

Kesimpulan :

Karena z = 4,562 > z _0,05 = 1,645, maka H₀ ditolak, yang berarti rata-rata populasi pertama lebih besar daripada rata-rata populasi kedua.

2. Dua sampel t-test digabung (En=Two-sample pooled t-test) variansi yang sama

Hipotesis	Rumus	Asumsi atau Catatan	Daerah Kritis atau Kriteria Keputusan
H0: μ1- μ2 = d0 Ha: μ1- μ2 ≠ d0	t = (x₁ - x₂) - d₀ 1         1 Sᵨn₁n₂ Dengan Sp²=(n₁-1)S₁²+(n₂-1)S₂²                n₁ + n₂ - 2 Keterangan : S = Simpangan Baku	Jika σ1 dan σ2tidak diketahui, diasumsikan nilai (variansi) sama	H0 ditolak jika t < -tα/2,n₁+n₂-2 Atau t > tα/2,n₁+n₂-2
H0: μ1- μ2 = d0 atau H0: μ1- μ2 ≤ d0 Ha: μ1- μ2 > d0			H0 ditolak jika t > tα,n₁+n₂-2
H0: μ1- μ2 = d0  atau H0: μ1- μ2 ≥  d0 Ha: μ1- μ2  < d0			H0 ditolak jika t < -tα,n₁+n₂-2

Contoh Soal :

Suatu pembelajaran diberikan pada dua kelas. Kelas pertama diikuti 12 mahasiswa dengan pembelajaran biaya yang mahal dan kelas lain diikuti 10 mahasiswa dengan pembelajaran biaya yang murah (kelas biasa) . Pada akhir semester mahasiswa diberi ujian dengan soal yang sama untuk kedua kelas. Hasil ujian pada kelas biaya mahal mencapai nilai rata-rata 85 dengan simpangan baku 4, sedang kelas biasa memperoleh nilai rata-rata 81 dengan simpangan baku 5.

Ujilah hipotesis bahwa hasil pembelajaran dengan kedua metode adalah sama dengan menggunakan taraf signifikansi 10 %. Asumsikan kedua populasi berdistribusi normal dengan variansi sama.

Jawab :

Diketahui , S₁ = 4, n = 12; , S₂ = 5, m = 10

Hipotesis

    H₀: μ₁- μ₂ = 0

    H_a: μ₁- μ₂ ≠ 0

Daerah kritis :

t < - tα/2,n₁+n₂-2= -t_0,05;20 = -1,73 atau t > tα= t_0,05;20 = 1,73

Perhitungan :

Sp =    (n₁-1)S₁²+(n₂-1) S₂²  =     (11)(16) + (9)(25)  = 4,478

  n₁ + n₂ - 2                         12 + 10 – 2           

t =    (x₁ - x₂) - d₀    =            85 – 81 – 0         = 2,07

 1         1                   1           1

 Sᵨn₁ n₂ 4,478    12       10

Kesimpulan:

Karena t = 2,07> 1,73, maka H₀ ditolak pada taraf signifikansi 10 %. Ini berarti bahwa kedua pembelajaran memberikan hasil pembelajaran yang tidak sama.(rata-rata hasil pembelajaran kedua metode tidak sama).

3. Dua sampel t-test terpisah (En=Two-sample unpooled t-test) variansi tidak sama

Hipotesis	Rumus	Asumsi atau Catatan	Daerah Kritis atau Kriteria Keputusan
H0: μ1- μ2 = d0 Ha: μ1- μ2 ≠ d0	t = (x₁ - x₂) - d₀   s₁²     s₂²  n₁      n₂ Dengan   s₁²      s₂²²               n₁       n₂ ν =  s₁² ²      s₂² ²   n₁          n₂            n₁-1      n₂-1	Jika σ1 dan σ2 tidak diketahui,  diasumsikan nilai (variansi) tidak sama	H0 ditolak jika t < -tα/2,v Atau t > tα/2,v
H0: μ1- μ2 = d0 atau H0: μ1- μ2 ≤ d0 Ha: μ1- μ2 > d0			H0 ditolak jika t > tα,v
H0: μ1- μ2 = d0  atau H0: μ1- μ2 ≥  d0 Ha: μ1- μ2  < d0			H0 ditolak jika t < -tα,v

Keterangan :ν : derajat bebas = dibaca ‘nu’

Contoh Soal :

            Dengan menggunakan data pada Contoh 2, Ujilah hipotesis bahwa hasil pembelajaran dengan biaya yang mahal lebih baik daripada dengan biaya yang murah dengan menggunakan taraf signifikansi 5 %. Asumsikan kedua populasi berdistribusi normal dengan variansi tidak sama. 

Jawab: 

Hipotesis

            H₀: μ₁- μ₂  = 0

            H_a: μ₁- μ₂  > 0

Daerah kritis :

Untuk menentukan daerah kritis perlu melakukan perhitungan derajat bebas

(S₁²/n₁) + S₂²/n₂)²    (16/12 + 25/10)² 

ν = (S₁²/n₁)²     (S₂²/n₂)²   =     (16/12)²    (25/10)²    = 14,69    = 17,17

         n₁ - 1          n₂ - 1               11               9              0,86

Dengan demikian daerah kritis adalah

t > tα,v = t0,05;17,17 = t0,05;17 = 1,74

Perhitungan

t = (x₁ - x₂) - d₀     =    85 – 81 – 0      = 2,04

         s₁²     s₂²              16         25

 n₁ n₂ 12          10

Kesimpulan:

          Karena t = 2,04> 1,74, maka H₀ ditolak pada taraf signifikansi 0,05 . Ini berarti bahwa pembelajaran biaya mahal memberikan hasil pembelajaran yang lebih tinggi dibandingkan dengan pembelajaran murah.

4.    Menguji Kesamaan Dua Proporsi  : Uji Dua Pihak

     Misalkan sekarang kita mempunyai dua populasi binom yang didalamnya masing-masing didapat proporsi peristiwa A sebesar  π₁ dan π₂. Dari populasi kesatu diambil sebuah sampel acak berukuran n₁ dan didalamnya terdapat proporsi peristiwa A dan sebesar  x₁/n₁. Dari populasi kedua angka-angka tersebut berturut-turut adalah n₂ dan x₂/n₂.Kedua sampel diambil secara independen.

H₀ :π₁ = π₂

H₁ :π₁ ≠ π₂

Untuk ini digunakan pendekatan oleh distribusi normal dengan statistik :   

            Z =( x₁ / n₁ ) – ( x₂ / x₂ )          

            pq    (1/n₁) + (1/n₂)

           

            dengan :  p  =  x₁ + x₂     dan  q = 1 - p

                                                n₁ + n₂

          Jika dalam pengujian ini digunakan taraf nyata α, maka kriteria pengujian adalah :  Terima H₀ untuk -z½ (1 – α) <  z< z½ (1 – α) dan tolak H₀  untuk harga-harga z lainnya.

            Seperti biasa, z½ (1 – α) didapat dari daftar distribusi normal baku dengan

peluang ½ (1 – α).

Contoh Soal :

            Suatu penelitian dilakukan di daerah A terhadap 250 pemilih. Ternyata 150 pemilih menyatakan akan memilih calon C. Di daerah B penelitian dilakukan terhadap 300 pemilih dan terdapat 162 yang akan memilih C. Adakah perbedaan yang nyata mengenai pemilihan calon C diantara kedua daerah itu?

Jawab :

Hipotesis yang akan diuji adalah :

H₀ : ᴀ = ʙ tidak terdapat perbedaan yang nyata antara kedua daerah itu 

terhadap  pemilihan calon C.

H₁ : ᴀ ≠  ʙterdapat adanya perbedaan yang nyata antara kedua daerah

terhadap  pemilihan calon C.

Maka :

                        P  =150 + 162  = 0,5673  dan  q =  1 – 0,5673 = 0,4327

                                 250 + 300

   150            162

                                                    250            300

                        Z =

                                    (0,5673)(0,4327) 1      1

                                                                      250        300               

Dengan peluang 0,475, dari daftar distribusi normal baku didapat Z0,475 = 1,96

            Kriteria pengujian adalah : terima H₀ jika – 1,96 < z < 1,96 dan tolak H₀ dalam hal lainnya. Jelas bahwa z = 1,42 ada dalam daerah penerimaan H₀. Kesimpulan dalam 5%, penelitian memperlibatkan bahwa tidak terdapat perbedaan yang nyata antara kedua daerah itu terdapat pemilihan calon C.

B. Pengujian untuk Data Berpasangan

          Andaikan kita tertarik untuk mengetahui apakah suatu metode pembelajaran G berhasil menaikkan hasil belajar atau tidak. Sebanyak n siswa diberi perlakuan pembelajaran dengan metode G, dan diberi pretes dan postes. Bagaimana menguji hipotesis apakah metode pembelajaran G efektif menaikan hasil belajar siswa ?

          Data hasil pretes dan postes dapat dinyatakan dalam n pasangan (X_i, Y_i ), i = 1, . . . , n, dengan X_i adalah  nilai pretes dan Y_i adalah postes. Dalam masalah  ini X₁, X_2, ..., X_n dan Y₁, Y_2, ..., y_n tidak independen, karena dimungkinkan ada kecenderungan orang dengan nilai pretes yang lebih tinggi akan mempunyai postes yang lebih tinggi. Oleh karena itu statistik uji t untuk sampel independent tidak dapat digunakan.

            Misalkan  B_i = X_i −Y_i , i = 1, . . . , n, maka B_i  menghasilkan rata-rata B  dan simpangan baku s_b. Hipotesis nol m_b = 0 menunjukkan bahwa metode pembelajaran tidak berhasil menaikkan hasil belajar. Secara umum hipotesis, statistik uji, dan daerah kritis untuk data berpasangan dasajikan dalam Tabel.

Tabel Uji Rata-Rata Data Berpasangan

Hipotesis	Rumus	Asumsi atau Catatan	Daerah Kritis atau Kriteria Keputusan
H0: μ1- μ2 = d0 Ha: μ1- μ2 ≠ d0	t =     B          Sb / √n	Bi berdistribusi Normal	H0 ditolak jika t < -tα/2,n-1 Atau t > tα/2,n-1
H0: μ1- μ2 = d0 atau H0: μ1- μ2 ≤ d0 Ha: μ1- μ2 > d0			H0 ditolak jika t > tα,n-1
H0: μ1- μ2 = d0  atau H0: μ1- μ2 ≥  d0 Ha: μ1- μ2  < d0			H0 ditolak jika t < -tα,n-1

Contoh Soal :

          Salah satu hal yang paling penting dalam dunia pendidikan adalah apakah proses pembelajaran yang dilakukan mampu meningkatkan kemampuan dan wawasan siswa. Untuk melihat bahwa apakah terdapat pengaruh proses belajar mengajar maka harus dibuktikan secara ilmiah. Salah satu teknik untuk melihat adanya pengaruh proses belajar bagi peningkatan kemampuan siswa dapat dilakukan dengan pengujian hipotesis. Pengujian hipotesis yang dapat digunakan untuk kasus ini dan kasus-kasus lain yang sejenis adalah pengujian hipotesis terhadap beda dua rata-rata untuk sampel berpasangan.  

Sebelum	56	69	48	74	65	71	58
Sesudah	62	73	44	85	71	70	69

            Untuk membuktikan bahwa hasil les telah meningkatkan nilai-nilai siswa yang mengikutinya dapat dilakukan dengan melakukan pengujian hipotesis menggunakan langkah-langkah sebagaimana yang telah dilakukan sebelumnya.

1. Tentukan hipotesis nol dan hipotesis alternatif

   H₀: µb = 0

   H₁: µb ≠ 0

2. Tingkat kepercayaan (α).
          Pada pengujian hipotesis ini tingkat kepercayaan yang digunakan adalah α = 0,05 atau tingkat kepercayaan 95%.

3. Kriteria pengujian
           Karena uji yang dilakukan adalah uji 1 pihak maka berdasarkan tabel t dengan α 0,05 dan dk = n - 1 = 6 didapatkan nilai t tabel = +2,447. Dengan demikian kriteria penolakan hipotesis adalah:
Tolak H₀ jika t hitung ≥ t tabel atau tolak H0 jika thitung ≤ t tabel atau
Tolak H₀ jika t hitung ≥ 2,447 atau tolak H0 jika t0,05 ≤ -2,447

4. Perhitungan
          Langkah pertama untuk melakukan perhitungan adalah mencari perbedaan nilai sebelum les dan sesudah les dengan menggunakan bantuan tabel sebagai berikut:

Subjek	Sebelum	Sesudah	Beda = b	b²
1	56	62	-6	36
2	69	73	-4	16
3	48	44	4	16
4	74	85	-11	121
5	65	71	-6	36
6	71	70	1	1
7	58	69	-11	121
Jumlah	441	474	-33	347

Selanjutnya yang dicari adalah :

    B =   -33  = - 4,71

               7

    Sb =     347-(7)(-4,71)²

                       7 – 1

     Sb =  5,65

Setelah itu dicari standar deviasi beda dua rata-rata :

     Sb = 5,65   = 2,13

               7

Setelah itu hitung nilai t :

      t =      B        = - 4,71    = - 2,21

            Sb /√n           2,13

5.Kesimpulan: :
  Berdasarkan statistik uji didapatkan nilai t hitung = -2,21 . Karena t hitung lebih kecil dari t tabel maka H0 diterima sehingga pada tingkat kepercayaan 0,95 bisa disimpulkan tidak terdapat perbedaan nilai siswa antara yang mengikuti les dan tidak mengikuti les atau dengan kata lain tidak ada les yang dilakukan tidak memberikan pengaruh yang signifikan terhadap peningkatan nilai siswa.

BAB III

                                                           PENUTUP       

Kesimpulan                          

Hipotesis adalah perumusan sementara mengenai sesuatu hal yang dibuat untuk menjelaskan hal itu dan untuk menuntun atau mengarahkan penyelidikan selanjutnya.Dalam melakukan hipotesis, ada dua macam kekeliruan yang dapat terjadi, dikenal dengan nama-nama, yaitu kekeliruan tipe I adalah menlolak hipotesis yang seharusnya diterima dan kekeliruan tipe II adalah menerima hipotesis yang seharusnya ditolak.Prosedur pengujian hipotesis, yaitu merumuskan hipotes, menentukan taraf nyata, menentukan uji statistik, menentukan daerah keputusan dan mengambil keputusan, sehingga kita dapat menarik kesimpulan sesuai dengan prosedur hipotesis.

DAFTAR PUSTAKA

Prof. Dr. Sudjana, M.A., M.Sc. 2005. Metoda Statistika. Bandung : Tarsito.

Prof. Kumaidi, Ph.D dan Budi Manfaat, M.Si. 2013. Pengantar Metode Statistika.Cirebon : Eduvision Publishing.

Drs. Ating Somantri dan Sambas Ali Muhidin, S.Pd. 2006.Aplikasi Statistika Dalam Penelitian.Bandung :Pustaka Setia.